Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6433 / 10529
↖ ↑ ↗
← S 45.598666°
W 38.649902°		 ← 1 709.47 m → S 45.598666°
W 38.627930°		 →
↑
1 709.28 m
↓
↑
1 709.28 m
↓
S 45.614038°
W 38.649902°		 ← 1 709 m →
2 921 552 m²		 S 45.614038°
W 38.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392669677734375 y=0.642669677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392669677734375 × 214)
    floor (0.392669677734375 × 16384)
    floor (6433.5)     		tx = 6433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642669677734375 × 214)
    floor (0.642669677734375 × 16384)
    floor (10529.5)     		ty = 10529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6433 / 10529 ti = "14/6433/10529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6433/10529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6433 ÷ 214
    6433 ÷ 16384     		x = 0.39263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10529 ÷ 214
    10529 ÷ 16384     		y = 0.64263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.67456805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67456805} λ = -0.67456805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89622827529657))-π/2
    2×atan(0.408106024120303)-π/2
    2×0.387474738004639-π/2
    0.774949476009278-1.57079632675     		φ = -0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67456805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6433 KachelY 10529 -0.67456805 -0.79584685 -38.649902 -45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 6434 KachelY 10529 -0.67418456 -0.79584685 -38.627930 -45.598666
    Unten links KachelX 6433 KachelY + 1 10530 -0.67456805 -0.79611514 -38.649902 -45.614038
    Unten rechts KachelX + 1 6434 KachelY + 1 10530 -0.67418456 -0.79611514 -38.627930 -45.614038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79584685--0.79611514) × R
    0.00026829000000006 × 6371000     		dl = 1709.27559000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79584685--0.79611514) × R
    0.00026829000000006 × 6371000     		dr = 1709.27559000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67456805--0.67418456) × cos(-0.79584685) × R
    0.000383489999999931 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 1709.46847445741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67456805--0.67418456) × cos(-0.79611514) × R
    0.000383489999999931 × 0.69948827293058 × 6371000     		du = 1709.00009385524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79584685)-sin(-0.79611514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.69948827293058)×R²
    abs(-0.67418456--0.67456805)×0.000191706682559523×R²
    0.000383489999999931×0.000191706682559523×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191706682559523×40589641000000     		ar = 2921552.45702414m²