Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 65 / 42
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
E  2.812500°		 ← 190.456 km → N 52.482780°
E  5.625000°		 →
↑
194.183 km
↓
↑
194.183 km
↓
N 50.736455°
E  2.812500°		 ← 197.927 km →
37 711.5 km²		 N 50.736455°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51171875 y=0.33203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51171875 × 27)
    floor (0.51171875 × 128)
    floor (65.5)     		tx = 65
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33203125 × 27)
    floor (0.33203125 × 128)
    floor (42.5)     		ty = 42
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 65 / 42 ti = "7/65/42"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/65/42.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65 ÷ 27
    65 ÷ 128     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42 ÷ 27
    42 ÷ 128     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65 KachelY 42 0.04908739 0.91599732 2.812500 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 66 KachelY 42 0.09817477 0.91599732 5.625000 52.482780
    Unten links KachelX 65 KachelY + 1 43 0.04908739 0.88551819 2.812500 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 66 KachelY + 1 43 0.09817477 0.88551819 5.625000 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.88551819) × R
    0.03047913 × 6371000     		dl = 194182.53723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.88551819) × R
    0.03047913 × 6371000     		dr = 194182.53723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.09817477) × cos(0.91599732) × R
    0.04908738 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 190455.988087245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.09817477) × cos(0.88551819) × R
    0.04908738 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 197926.789723534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.632888381473458)×R²
    abs(0.09817477-0.04908739)×0.0238885476923291×R²
    0.04908738×0.0238885476923291×6371000²
    0.04908738×0.0238885476923291×40589641000000     		ar = 37711496078.2586m²