Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65296 / 66352
↖ ↑ ↗
← S  2.240640°
W  0.659180°		 ← 305.19 m → S  2.240640°
W  0.656433°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
S  2.243384°
W  0.659180°		 ← 305.19 m →
93 136 m²		 S  2.243384°
W  0.656433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498172760009766 y=0.506229400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498172760009766 × 217)
    floor (0.498172760009766 × 131072)
    floor (65296.5)     		tx = 65296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506229400634766 × 217)
    floor (0.506229400634766 × 131072)
    floor (66352.5)     		ty = 66352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65296 / 66352 ti = "17/65296/66352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65296/66352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65296 ÷ 217
    65296 ÷ 131072     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66352 ÷ 217
    66352 ÷ 131072     		y = 0.5062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.012451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0391165100899658))-π/2
    2×atan(0.961638662012157)-π/2
    2×0.765844894130843-π/2
    1.53168978826169-1.57079632675     		φ = -0.03910654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03910654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.240640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65296 KachelY 66352 -0.01150486 -0.03910654 -0.659180 -2.240640
    Oben rechts KachelX + 1 65297 KachelY 66352 -0.01145692 -0.03910654 -0.656433 -2.240640
    Unten links KachelX 65296 KachelY + 1 66353 -0.01150486 -0.03915444 -0.659180 -2.243384
    Unten rechts KachelX + 1 65297 KachelY + 1 66353 -0.01145692 -0.03915444 -0.656433 -2.243384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03910654--0.03915444) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dl = 305.170899999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03910654--0.03915444) × R
    4.78999999999966e-05 × 6371000     		dr = 305.170899999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01145692) × cos(-0.03910654) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999235436710653 × 6371000     		do = 305.192222691573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01145692) × cos(-0.03915444) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999233562838479 × 6371000     		du = 305.191650362777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03910654)-sin(-0.03915444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999235436710653-0.999233562838479)×R²
    abs(-0.01145692--0.01150486)×1.87387217476243e-06×R²
    4.79399999999998e-05×1.87387217476243e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.87387217476243e-06×40589641000000     		ar = 93135.6979605464m²