Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 66 / 46
↖ ↑ ↗
← N 45.089036°
E  5.625000°		 ← 220.794 km → N 45.089036°
E  8.437500°		 →
↑
224.630 km
↓
↑
224.630 km
↓
N 43.068888°
E  5.625000°		 ← 228.464 km →
50 463.6 km²		 N 43.068888°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51953125 y=0.36328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51953125 × 27)
    floor (0.51953125 × 128)
    floor (66.5)     		tx = 66
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36328125 × 27)
    floor (0.36328125 × 128)
    floor (46.5)     		ty = 46
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 66 / 46 ti = "7/66/46"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/66/46.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66 ÷ 27
    66 ÷ 128     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46 ÷ 27
    46 ÷ 128     		y = 0.359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359375 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883572933796875))-π/2
    2×atan(2.41952909840215)-π/2
    2×1.17887422696609-π/2
    2.35774845393219-1.57079632675     		φ = 0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66 KachelY 46 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 67 KachelY 46 0.14726216 0.78695213 8.437500 45.089036
    Unten links KachelX 66 KachelY + 1 47 0.09817477 0.75169390 5.625000 43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 67 KachelY + 1 47 0.14726216 0.75169390 8.437500 43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78695213-0.75169390) × R
    0.0352582299999999 × 6371000     		dl = 224630.18333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78695213-0.75169390) × R
    0.0352582299999999 × 6371000     		dr = 224630.18333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.14726216) × cos(0.78695213) × R
    0.04908739 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 220793.67053555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.14726216) × cos(0.75169390) × R
    0.04908739 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 228463.854181845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78695213)-sin(0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.730533191814215)×R²
    abs(0.14726216-0.09817477)×0.0245260842726983×R²
    0.04908739×0.0245260842726983×6371000²
    0.04908739×0.0245260842726983×40589641000000     		ar = 50463627969.385m²