Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66300 / 65292
↖ ↑ ↗
← N  0.670151°
E  2.098389°		 ← 305.40 m → N  0.670151°
E  2.101135°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.667404°
E  2.098389°		 ← 305.41 m →
93 279 m²		 N  0.667404°
E  2.101135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505832672119141 y=0.498142242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505832672119141 × 217)
    floor (0.505832672119141 × 131072)
    floor (66300.5)     		tx = 66300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498142242431641 × 217)
    floor (0.498142242431641 × 131072)
    floor (65292.5)     		ty = 65292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66300 / 65292 ti = "17/66300/65292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66300/65292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66300 ÷ 217
    66300 ÷ 131072     		x = 0.505828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65292 ÷ 217
    65292 ÷ 131072     		y = 0.498138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505828857421875 × 2 - 1) × π
    0.01165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03662379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498138427734375 × 2 - 1) × π
    0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03662379} λ = 0.03662379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(1.0117652762589)-π/2
    2×0.791246331804109-π/2
    1.58249266360822-1.57079632675     		φ = 0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03662379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66300 KachelY 65292 0.03662379 0.01169634 2.098389 0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 66301 KachelY 65292 0.03667173 0.01169634 2.101135 0.670151
    Unten links KachelX 66300 KachelY + 1 65293 0.03662379 0.01164840 2.098389 0.667404
    Unten rechts KachelX + 1 66301 KachelY + 1 65293 0.03667173 0.01164840 2.101135 0.667404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01169634-0.01164840) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01169634-0.01164840) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03662379-0.03667173) × cos(0.01169634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 305.404848450271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03662379-0.03667173) × cos(0.01164840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99993215815582 × 6371000     		du = 305.405019354515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01169634)-sin(0.01164840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.99993215815582)×R²
    abs(0.03667173-0.03662379)×5.59560711321794e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.59560711321794e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.59560711321794e-07×40589641000000     		ar = 93278.5279546522m²