Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 67 / 41
↖ ↑ ↗
← N 54.162434°
E  8.437500°		 ← 183.103 km → N 54.162434°
E 11.250000°		 →
↑
186.769 km
↓
↑
186.769 km
↓
N 52.482780°
E  8.437500°		 ← 190.456 km →
34 887.1 km²		 N 52.482780°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52734375 y=0.32421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52734375 × 27)
    floor (0.52734375 × 128)
    floor (67.5)     		tx = 67
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32421875 × 27)
    floor (0.32421875 × 128)
    floor (41.5)     		ty = 41
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 67 / 41 ti = "7/67/41"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/67/41.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67 ÷ 27
    67 ÷ 128     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41 ÷ 27
    41 ÷ 128     		y = 0.3203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3203125 × 2 - 1) × π
    0.359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12900985985156))-π/2
    2×atan(3.09259288329347)-π/2
    2×1.2580545652064-π/2
    2.5161091304128-1.57079632675     		φ = 0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67 KachelY 41 0.14726216 0.94531280 8.437500 54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 68 KachelY 41 0.19634954 0.94531280 11.250000 54.162434
    Unten links KachelX 67 KachelY + 1 42 0.14726216 0.91599732 8.437500 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 68 KachelY + 1 42 0.19634954 0.91599732 11.250000 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94531280-0.91599732) × R
    0.0293154799999999 × 6371000     		dl = 186768.92308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94531280-0.91599732) × R
    0.0293154799999999 × 6371000     		dr = 186768.92308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.19634954) × cos(0.94531280) × R
    0.04908738 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 183103.413315982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.19634954) × cos(0.91599732) × R
    0.04908738 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 190455.988087245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94531280)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.608999833781129)×R²
    abs(0.19634954-0.14726216)×0.0235105068553246×R²
    0.04908738×0.0235105068553246×6371000²
    0.04908738×0.0235105068553246×40589641000000     		ar = 34887142082.2049m²