Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67080 / 42504
↖ ↑ ↗
← N 53.317749°
E  4.240722°		 ← 182.45 m → N 53.317749°
E  4.243469°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
N 53.316108°
E  4.240722°		 ← 182.46 m →
33 292 m²		 N 53.316108°
E  4.243469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511783599853516 y=0.324283599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511783599853516 × 217)
    floor (0.511783599853516 × 131072)
    floor (67080.5)     		tx = 67080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324283599853516 × 217)
    floor (0.324283599853516 × 131072)
    floor (42504.5)     		ty = 42504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67080 / 42504 ti = "17/67080/42504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67080/42504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67080 ÷ 217
    67080 ÷ 131072     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42504 ÷ 217
    42504 ÷ 131072     		y = 0.32427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32427978515625 × 2 - 1) × π
    0.3514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10408267204913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10408267204913))-π/2
    2×atan(3.0164561197475)-π/2
    2×1.25068329870342-π/2
    2.50136659740683-1.57079632675     		φ = 0.93057027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93057027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.317749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67080 KachelY 42504 0.07401457 0.93057027 4.240722 53.317749
    Oben rechts KachelX + 1 67081 KachelY 42504 0.07406251 0.93057027 4.243469 53.317749
    Unten links KachelX 67080 KachelY + 1 42505 0.07401457 0.93054163 4.240722 53.316108
    Unten rechts KachelX + 1 67081 KachelY + 1 42505 0.07406251 0.93054163 4.243469 53.316108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93057027-0.93054163) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93057027-0.93054163) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.93057027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597376745298232 × 6371000     		do = 182.45423449149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(0.93054163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597399713208746 × 6371000     		du = 182.461249482555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93057027)-sin(0.93054163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597376745298232-0.597399713208746)×R²
    abs(0.07406251-0.07401457)×2.29679105141489e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.29679105141489e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29679105141489e-05×40589641000000     		ar = 33292.2321755372m²