Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67583 / 47103
↖ ↑ ↗
← N 45.090975°
E  5.622253°		 ← 215.63 m → N 45.090975°
E  5.625000°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.089036°
E  5.622253°		 ← 215.63 m →
46 488 m²		 N 45.089036°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515621185302734 y=0.359371185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515621185302734 × 217)
    floor (0.515621185302734 × 131072)
    floor (67583.5)     		tx = 67583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359371185302734 × 217)
    floor (0.359371185302734 × 131072)
    floor (47103.5)     		ty = 47103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67583 / 47103 ti = "17/67583/47103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67583/47103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67583 ÷ 217
    67583 ÷ 131072     		x = 0.515617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47103 ÷ 217
    47103 ÷ 131072     		y = 0.359367370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515617370605469 × 2 - 1) × π
    0.0312347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09812683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359367370605469 × 2 - 1) × π
    0.281265258789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.883620870696495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09812683} λ = 0.09812683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883620870696495))-π/2
    2×atan(2.41964508590569)-π/2
    2×1.17889114857482-π/2
    2.35778229714965-1.57079632675     		φ = 0.78698597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09812683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.622253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78698597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.090975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67583 KachelY 47103 0.09812683 0.78698597 5.622253 45.090975
    Oben rechts KachelX + 1 67584 KachelY 47103 0.09817477 0.78698597 5.625000 45.090975
    Unten links KachelX 67583 KachelY + 1 47104 0.09812683 0.78695213 5.622253 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 67584 KachelY + 1 47104 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78698597-0.78695213) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dl = 215.5946400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78698597-0.78695213) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dr = 215.5946400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09812683-0.09817477) × cos(0.78698597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.705983141488632 × 6371000     		do = 215.625423416674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09812683-0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 215.632743266111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78698597)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705983141488632-0.706007107541517)×R²
    abs(0.09817477-0.09812683)×2.3966052884572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3966052884572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3966052884572e-05×40589641000000     		ar = 46488.474600942m²