Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67585 / 38911
↖ ↑ ↗
← N 58.815164°
E  5.627747°		 ← 158.12 m → N 58.815164°
E  5.630493°		 →
↑
158.13 m
↓
↑
158.13 m
↓
N 58.813742°
E  5.627747°		 ← 158.12 m →
25 003 m²		 N 58.813742°
E  5.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515636444091797 y=0.296871185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515636444091797 × 217)
    floor (0.515636444091797 × 131072)
    floor (67585.5)     		tx = 67585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296871185302734 × 217)
    floor (0.296871185302734 × 131072)
    floor (38911.5)     		ty = 38911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67585 / 38911 ti = "17/67585/38911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67585/38911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67585 ÷ 217
    67585 ÷ 131072     		x = 0.515632629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38911 ÷ 217
    38911 ÷ 131072     		y = 0.296867370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515632629394531 × 2 - 1) × π
    0.0312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09822271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296867370605469 × 2 - 1) × π
    0.406265258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.27631995238399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09822271} λ = 0.09822271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27631995238399))-π/2
    2×atan(3.58342824447131)-π/2
    2×1.29865729369875-π/2
    2.5973145873975-1.57079632675     		φ = 1.02651826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09822271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.627747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02651826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.815164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67585 KachelY 38911 0.09822271 1.02651826 5.627747 58.815164
    Oben rechts KachelX + 1 67586 KachelY 38911 0.09827064 1.02651826 5.630493 58.815164
    Unten links KachelX 67585 KachelY + 1 38912 0.09822271 1.02649344 5.627747 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 67586 KachelY + 1 38912 0.09827064 1.02649344 5.630493 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02651826-1.02649344) × R
    2.48199999999255e-05 × 6371000     		dl = 158.128219999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02651826-1.02649344) × R
    2.48199999999255e-05 × 6371000     		dr = 158.128219999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(1.02651826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.517800610675816 × 6371000     		do = 158.116645611212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(1.02649344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 158.123129480315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02651826)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517800610675816-0.517821844059361)×R²
    abs(0.09827064-0.09822271)×2.12333835457601e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12333835457601e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12333835457601e-05×40589641000000     		ar = 25003.2163653299m²