Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67585 / 47105
↖ ↑ ↗
← N 45.087096°
E  5.627747°		 ← 215.60 m → N 45.087096°
E  5.630493°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.085157°
E  5.627747°		 ← 215.60 m →
46 482 m²		 N 45.085157°
E  5.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515636444091797 y=0.359386444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515636444091797 × 217)
    floor (0.515636444091797 × 131072)
    floor (67585.5)     		tx = 67585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359386444091797 × 217)
    floor (0.359386444091797 × 131072)
    floor (47105.5)     		ty = 47105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67585 / 47105 ti = "17/67585/47105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67585/47105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67585 ÷ 217
    67585 ÷ 131072     		x = 0.515632629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47105 ÷ 217
    47105 ÷ 131072     		y = 0.359382629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515632629394531 × 2 - 1) × π
    0.0312652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09822271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359382629394531 × 2 - 1) × π
    0.281234741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.883524996897255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09822271} λ = 0.09822271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883524996897255))-π/2
    2×atan(2.41941311645856)-π/2
    2×1.17885730478288-π/2
    2.35771460956576-1.57079632675     		φ = 0.78691828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09822271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.627747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78691828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.087096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67585 KachelY 47105 0.09822271 0.78691828 5.627747 45.087096
    Oben rechts KachelX + 1 67586 KachelY 47105 0.09827064 0.78691828 5.630493 45.087096
    Unten links KachelX 67585 KachelY + 1 47106 0.09822271 0.78688444 5.627747 45.085157
    Unten rechts KachelX + 1 67586 KachelY + 1 47106 0.09827064 0.78688444 5.630493 45.085157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78691828-0.78688444) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78691828-0.78688444) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(0.78691828) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706031079867729 × 6371000     		do = 215.595083791509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09822271-0.09827064) × cos(0.78688444) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		du = 215.602401620229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78691828)-sin(0.78688444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706031079867729-0.706055044303385)×R²
    abs(0.09827064-0.09822271)×2.39644356563318e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39644356563318e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39644356563318e-05×40589641000000     		ar = 46481.9333225156m²