Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67586 / 47106
↖ ↑ ↗
← N 45.085157°
E  5.630493°		 ← 215.65 m → N 45.085157°
E  5.633240°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 45.083218°
E  5.630493°		 ← 215.65 m →
46 507 m²		 N 45.083218°
E  5.633240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515644073486328 y=0.359394073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515644073486328 × 217)
    floor (0.515644073486328 × 131072)
    floor (67586.5)     		tx = 67586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359394073486328 × 217)
    floor (0.359394073486328 × 131072)
    floor (47106.5)     		ty = 47106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67586 / 47106 ti = "17/67586/47106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67586/47106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67586 ÷ 217
    67586 ÷ 131072     		x = 0.515640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47106 ÷ 217
    47106 ÷ 131072     		y = 0.359390258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515640258789062 × 2 - 1) × π
    0.031280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09827064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359390258789062 × 2 - 1) × π
    0.281219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883477059997635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09827064} λ = 0.09827064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883477059997635))-π/2
    2×atan(2.41929714007465)-π/2
    2×1.17884038202518-π/2
    2.35768076405037-1.57079632675     		φ = 0.78688444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09827064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78688444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.085157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67586 KachelY 47106 0.09827064 0.78688444 5.630493 45.085157
    Oben rechts KachelX + 1 67587 KachelY 47106 0.09831858 0.78688444 5.633240 45.085157
    Unten links KachelX 67586 KachelY + 1 47107 0.09827064 0.78685059 5.630493 45.083218
    Unten rechts KachelX + 1 67587 KachelY + 1 47107 0.09831858 0.78685059 5.633240 45.083218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78688444-0.78685059) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78688444-0.78685059) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09827064-0.09831858) × cos(0.78688444) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		do = 215.647384387078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09827064-0.09831858) × cos(0.78685059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706079015011836 × 6371000     		du = 215.654705658445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78688444)-sin(0.78685059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706055044303385-0.706079015011836)×R²
    abs(0.09831858-0.09827064)×2.39707084510599e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39707084510599e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39707084510599e-05×40589641000000     		ar = 46506.9485499872m²