Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67616 / 38944
↖ ↑ ↗
← N 58.768200°
E  5.712891°		 ← 158.36 m → N 58.768200°
E  5.715637°		 →
↑
158.38 m
↓
↑
158.38 m
↓
N 58.766776°
E  5.712891°		 ← 158.37 m →
25 083 m²		 N 58.766776°
E  5.715637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515872955322266 y=0.297122955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515872955322266 × 217)
    floor (0.515872955322266 × 131072)
    floor (67616.5)     		tx = 67616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297122955322266 × 217)
    floor (0.297122955322266 × 131072)
    floor (38944.5)     		ty = 38944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67616 / 38944 ti = "17/67616/38944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67616/38944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67616 ÷ 217
    67616 ÷ 131072     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38944 ÷ 217
    38944 ÷ 131072     		y = 0.297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297119140625 × 2 - 1) × π
    0.40576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27473803469653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27473803469653))-π/2
    2×atan(3.5777640372856)-π/2
    2×1.2982474575129-π/2
    2.59649491502579-1.57079632675     		φ = 1.02569859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02569859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.768200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67616 KachelY 38944 0.09970875 1.02569859 5.712891 58.768200
    Oben rechts KachelX + 1 67617 KachelY 38944 0.09975669 1.02569859 5.715637 58.768200
    Unten links KachelX 67616 KachelY + 1 38945 0.09970875 1.02567373 5.712891 58.766776
    Unten rechts KachelX + 1 67617 KachelY + 1 38945 0.09975669 1.02567373 5.715637 58.766776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02569859-1.02567373) × R
    2.48599999999044e-05 × 6371000     		dl = 158.383059999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02569859-1.02567373) × R
    2.48599999999044e-05 × 6371000     		dr = 158.383059999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.09975669) × cos(1.02569859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518501665428924 × 6371000     		do = 158.363754854849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.09975669) × cos(1.02567373) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.518522922473427 × 6371000     		du = 158.370247303397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02569859)-sin(1.02567373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518501665428924-0.518522922473427)×R²
    abs(0.09975669-0.09970875)×2.12570445033977e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12570445033977e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12570445033977e-05×40589641000000     		ar = 25082.6502351002m²