Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67711 / 43903
↖ ↑ ↗
← N 50.960157°
E  5.973816°		 ← 192.34 m → N 50.960157°
E  5.976562°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
N 50.958427°
E  5.973816°		 ← 192.34 m →
36 995 m²		 N 50.958427°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516597747802734 y=0.334957122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516597747802734 × 217)
    floor (0.516597747802734 × 131072)
    floor (67711.5)     		tx = 67711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334957122802734 × 217)
    floor (0.334957122802734 × 131072)
    floor (43903.5)     		ty = 43903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67711 / 43903 ti = "17/67711/43903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67711/43903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67711 ÷ 217
    67711 ÷ 131072     		x = 0.516593933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43903 ÷ 217
    43903 ÷ 131072     		y = 0.334953308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516593933105469 × 2 - 1) × π
    0.0331878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10426276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334953308105469 × 2 - 1) × π
    0.330093383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03701894948067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10426276} λ = 0.10426276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03701894948067))-π/2
    2×atan(2.82079553416715)-π/2
    2×1.23010942443231-π/2
    2.46021884886462-1.57079632675     		φ = 0.88942252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10426276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.973816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88942252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.960157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67711 KachelY 43903 0.10426276 0.88942252 5.973816 50.960157
    Oben rechts KachelX + 1 67712 KachelY 43903 0.10431069 0.88942252 5.976562 50.960157
    Unten links KachelX 67711 KachelY + 1 43904 0.10426276 0.88939233 5.973816 50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 67712 KachelY + 1 43904 0.10431069 0.88939233 5.976562 50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88942252-0.88939233) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88942252-0.88939233) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10426276-0.10431069) × cos(0.88942252) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629860664992367 × 6371000     		do = 192.335531279226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10426276-0.10431069) × cos(0.88939233) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 192.342691570515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88942252)-sin(0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629860664992367-0.629884113524226)×R²
    abs(0.10431069-0.10426276)×2.34485318587607e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34485318587607e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34485318587607e-05×40589641000000     		ar = 36994.5989406159m²