Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67712 / 39040
↖ ↑ ↗
← N 58.631216°
E  5.976562°		 ← 158.99 m → N 58.631216°
E  5.979309°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.629787°
E  5.976562°		 ← 158.99 m →
25 273 m²		 N 58.629787°
E  5.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516605377197266 y=0.297855377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516605377197266 × 217)
    floor (0.516605377197266 × 131072)
    floor (67712.5)     		tx = 67712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297855377197266 × 217)
    floor (0.297855377197266 × 131072)
    floor (39040.5)     		ty = 39040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67712 / 39040 ti = "17/67712/39040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67712/39040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67712 ÷ 217
    67712 ÷ 131072     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39040 ÷ 217
    39040 ÷ 131072     		y = 0.2978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2978515625 × 2 - 1) × π
    0.404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27013609233301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27013609233301))-π/2
    2×atan(3.56133720006522)-π/2
    2×1.29705205082693-π/2
    2.59410410165386-1.57079632675     		φ = 1.02330777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02330777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.631216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67712 KachelY 39040 0.10431069 1.02330777 5.976562 58.631216
    Oben rechts KachelX + 1 67713 KachelY 39040 0.10435863 1.02330777 5.979309 58.631216
    Unten links KachelX 67712 KachelY + 1 39041 0.10431069 1.02328282 5.976562 58.629787
    Unten rechts KachelX + 1 67713 KachelY + 1 39041 0.10435863 1.02328282 5.979309 58.629787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02330777-1.02328282) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02330777-1.02328282) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10435863) × cos(1.02330777) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520544515879301 × 6371000     		do = 158.987693965365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10435863) × cos(1.02328282) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520565818888837 × 6371000     		du = 158.994200452817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02330777)-sin(1.02328282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520544515879301-0.520565818888837)×R²
    abs(0.10435863-0.10431069)×2.13030095358446e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13030095358446e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13030095358446e-05×40589641000000     		ar = 25272.6365519963m²