Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67848 / 43272
↖ ↑ ↗
← N 52.038977°
E  6.350098°		 ← 187.88 m → N 52.038977°
E  6.352844°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.037287°
E  6.350098°		 ← 187.88 m →
35 299 m²		 N 52.037287°
E  6.352844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517642974853516 y=0.330142974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517642974853516 × 217)
    floor (0.517642974853516 × 131072)
    floor (67848.5)     		tx = 67848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330142974853516 × 217)
    floor (0.330142974853516 × 131072)
    floor (43272.5)     		ty = 43272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67848 / 43272 ti = "17/67848/43272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67848/43272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67848 ÷ 217
    67848 ÷ 131072     		x = 0.51763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43272 ÷ 217
    43272 ÷ 131072     		y = 0.33013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51763916015625 × 2 - 1) × π
    0.0352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11083011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33013916015625 × 2 - 1) × π
    0.3397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06726713314093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11083011} λ = 0.11083011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06726713314093))-π/2
    2×atan(2.90742303289445)-π/2
    2×1.23952390375952-π/2
    2.47904780751904-1.57079632675     		φ = 0.90825148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11083011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90825148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.038977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67848 KachelY 43272 0.11083011 0.90825148 6.350098 52.038977
    Oben rechts KachelX + 1 67849 KachelY 43272 0.11087805 0.90825148 6.352844 52.038977
    Unten links KachelX 67848 KachelY + 1 43273 0.11083011 0.90822199 6.350098 52.037287
    Unten rechts KachelX + 1 67849 KachelY + 1 43273 0.11087805 0.90822199 6.352844 52.037287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90825148-0.90822199) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90825148-0.90822199) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11083011-0.11087805) × cos(0.90825148) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.615125273655304 × 6371000     		do = 187.875091898914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11083011-0.11087805) × cos(0.90822199) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.615148524170437 × 6371000     		du = 187.882193204704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90825148)-sin(0.90822199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615125273655304-0.615148524170437)×R²
    abs(0.11087805-0.11083011)×2.32505151335216e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.32505151335216e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.32505151335216e-05×40589641000000     		ar = 35298.7877894294m²