Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67967 / 43905
↖ ↑ ↗
← N 50.956697°
E  6.676941°		 ← 192.39 m → N 50.956697°
E  6.679688°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
N 50.954967°
E  6.676941°		 ← 192.40 m →
37 005 m²		 N 50.954967°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518550872802734 y=0.334972381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518550872802734 × 217)
    floor (0.518550872802734 × 131072)
    floor (67967.5)     		tx = 67967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334972381591797 × 217)
    floor (0.334972381591797 × 131072)
    floor (43905.5)     		ty = 43905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67967 / 43905 ti = "17/67967/43905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67967/43905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67967 ÷ 217
    67967 ÷ 131072     		x = 0.518547058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43905 ÷ 217
    43905 ÷ 131072     		y = 0.334968566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518547058105469 × 2 - 1) × π
    0.0370941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11653460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334968566894531 × 2 - 1) × π
    0.330062866210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03692307568143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11653460} λ = 0.11653460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03692307568143))-π/2
    2×atan(2.82052510674607)-π/2
    2×1.23007922974071-π/2
    2.46015845948142-1.57079632675     		φ = 0.88936213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11653460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.676941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88936213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.956697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67967 KachelY 43905 0.11653460 0.88936213 6.676941 50.956697
    Oben rechts KachelX + 1 67968 KachelY 43905 0.11658254 0.88936213 6.679688 50.956697
    Unten links KachelX 67967 KachelY + 1 43906 0.11653460 0.88933194 6.676941 50.954967
    Unten rechts KachelX + 1 67968 KachelY + 1 43906 0.11658254 0.88933194 6.679688 50.954967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88936213-0.88933194) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dl = 192.340489999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88936213-0.88933194) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dr = 192.340489999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(0.88936213) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629907569248687 × 6371000     		do = 192.389985469367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(0.88933194) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629931016632136 × 6371000     		du = 192.397146903808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88936213)-sin(0.88933194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629907569248687-0.629931016632136)×R²
    abs(0.11658254-0.11653460)×2.3447383448949e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3447383448949e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3447383448949e-05×40589641000000     		ar = 37005.0727960013m²