Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67972 / 43916
↖ ↑ ↗
← N 50.937662°
E  6.690674°		 ← 192.43 m → N 50.937662°
E  6.693420°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
N 50.935931°
E  6.690674°		 ← 192.44 m →
37 037 m²		 N 50.935931°
E  6.693420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518589019775391 y=0.335056304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518589019775391 × 217)
    floor (0.518589019775391 × 131072)
    floor (67972.5)     		tx = 67972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335056304931641 × 217)
    floor (0.335056304931641 × 131072)
    floor (43916.5)     		ty = 43916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67972 / 43916 ti = "17/67972/43916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67972/43916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67972 ÷ 217
    67972 ÷ 131072     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43916 ÷ 217
    43916 ÷ 131072     		y = 0.335052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335052490234375 × 2 - 1) × π
    0.32989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03639576978561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03639576978561))-π/2
    2×atan(2.81903821928469)-π/2
    2×1.22991311874432-π/2
    2.45982623748863-1.57079632675     		φ = 0.88902991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88902991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.937662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67972 KachelY 43916 0.11677429 0.88902991 6.690674 50.937662
    Oben rechts KachelX + 1 67973 KachelY 43916 0.11682222 0.88902991 6.693420 50.937662
    Unten links KachelX 67972 KachelY + 1 43917 0.11677429 0.88899970 6.690674 50.935931
    Unten rechts KachelX + 1 67973 KachelY + 1 43917 0.11682222 0.88899970 6.693420 50.935931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88902991-0.88899970) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88902991-0.88899970) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(0.88902991) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630165559825205 × 6371000     		do = 192.428634584317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(0.88899970) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630189016418281 × 6371000     		du = 192.435797337196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88902991)-sin(0.88899970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630165559825205-0.630189016418281)×R²
    abs(0.11682222-0.11677429)×2.34565930752328e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34565930752328e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34565930752328e-05×40589641000000     		ar = 37037.0264252857m²