Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67974 / 43910
↖ ↑ ↗
← N 50.948045°
E  6.696167°		 ← 192.43 m → N 50.948045°
E  6.698914°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
N 50.946315°
E  6.696167°		 ← 192.43 m →
37 024 m²		 N 50.946315°
E  6.698914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518604278564453 y=0.335010528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518604278564453 × 217)
    floor (0.518604278564453 × 131072)
    floor (67974.5)     		tx = 67974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335010528564453 × 217)
    floor (0.335010528564453 × 131072)
    floor (43910.5)     		ty = 43910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67974 / 43910 ti = "17/67974/43910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67974/43910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67974 ÷ 217
    67974 ÷ 131072     		x = 0.518600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43910 ÷ 217
    43910 ÷ 131072     		y = 0.335006713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518600463867188 × 2 - 1) × π
    0.037200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335006713867188 × 2 - 1) × π
    0.329986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03668339118333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11687016} λ = 0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03668339118333))-π/2
    2×atan(2.8198491516127)-π/2
    2×1.23000373317461-π/2
    2.46000746634922-1.57079632675     		φ = 0.88921114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88921114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.948045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67974 KachelY 43910 0.11687016 0.88921114 6.696167 50.948045
    Oben rechts KachelX + 1 67975 KachelY 43910 0.11691810 0.88921114 6.698914 50.948045
    Unten links KachelX 67974 KachelY + 1 43911 0.11687016 0.88918094 6.696167 50.946315
    Unten rechts KachelX + 1 67975 KachelY + 1 43911 0.11691810 0.88918094 6.698914 50.946315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88921114-0.88918094) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88921114-0.88918094) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11687016-0.11691810) × cos(0.88921114) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630024831487299 × 6371000     		do = 192.425800375369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11687016-0.11691810) × cos(0.88918094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630048283764624 × 6371000     		du = 192.432963304525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88921114)-sin(0.88918094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630024831487299-0.630048283764624)×R²
    abs(0.11691810-0.11687016)×2.34522773246981e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34522773246981e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34522773246981e-05×40589641000000     		ar = 37024.2212722816m²