Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67999 / 43937
↖ ↑ ↗
← N 50.901301°
E  6.764831°		 ← 192.62 m → N 50.901301°
E  6.767578°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.899569°
E  6.764831°		 ← 192.63 m →
37 098 m²		 N 50.899569°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518795013427734 y=0.335216522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518795013427734 × 217)
    floor (0.518795013427734 × 131072)
    floor (67999.5)     		tx = 67999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335216522216797 × 217)
    floor (0.335216522216797 × 131072)
    floor (43937.5)     		ty = 43937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67999 / 43937 ti = "17/67999/43937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67999/43937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67999 ÷ 217
    67999 ÷ 131072     		x = 0.518791198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43937 ÷ 217
    43937 ÷ 131072     		y = 0.335212707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518791198730469 × 2 - 1) × π
    0.0375823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11806858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335212707519531 × 2 - 1) × π
    0.329574584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03538909489359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11806858} λ = 0.11806858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03538909489359))-π/2
    2×atan(2.81620179220918)-π/2
    2×1.22959580884696-π/2
    2.45919161769392-1.57079632675     		φ = 0.88839529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11806858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.764831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88839529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.901301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67999 KachelY 43937 0.11806858 0.88839529 6.764831 50.901301
    Oben rechts KachelX + 1 68000 KachelY 43937 0.11811652 0.88839529 6.767578 50.901301
    Unten links KachelX 67999 KachelY + 1 43938 0.11806858 0.88836506 6.764831 50.899569
    Unten rechts KachelX + 1 68000 KachelY + 1 43938 0.11811652 0.88836506 6.767578 50.899569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88839529-0.88836506) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dl = 192.59532999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88839529-0.88836506) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dr = 192.59532999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11806858-0.11811652) × cos(0.88839529) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630658190445041 × 6371000     		do = 192.619244503723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11806858-0.11811652) × cos(0.88836506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630681650472549 × 6371000     		du = 192.626409799985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88839529)-sin(0.88836506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630658190445041-0.630681650472549)×R²
    abs(0.11811652-0.11806858)×2.34600275085262e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34600275085262e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34600275085262e-05×40589641000000     		ar = 37098.2569636623m²