Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 68 / 52
N 31.952162°
E 11.250000°
← 265.353 km → N 31.952162°
E 14.062500°

268.751 km

268.751 km
N 29.535229°
E 11.250000°
← 272.097 km →
72 230.7 km²
N 29.535229°
E 14.062500°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53515625 y=0.41015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53515625 × 27)
    floor (0.53515625 × 128)
    floor (68.5)
    tx = 68
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41015625 × 27)
    floor (0.41015625 × 128)
    floor (52.5)
    ty = 52
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 68 / 52 ti = "7/68/52"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/68/52.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68 ÷ 27
    68 ÷ 128
    x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52 ÷ 27
    52 ÷ 128
    y = 0.40625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535
    Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.40625 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535
    Φ = 0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58904862253125))-π/2
    2×atan(1.80227295761889)-π/2
    2×1.06423338048277-π/2
    2.12846676096555-1.57079632675
    φ = 0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68 KachelY 52 0.19634954 0.55767043 11.250000 31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 69 KachelY 52 0.24543693 0.55767043 14.062500 31.952162
    Unten links KachelX 68 KachelY + 1 53 0.19634954 0.51548700 11.250000 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 69 KachelY + 1 53 0.24543693 0.51548700 14.062500 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.55767043-0.51548700) × R
    0.04218343 × 6371000
    dl = 268750.63253m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.55767043-0.51548700) × R
    0.04218343 × 6371000
    dr = 268750.63253m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.24543693) × cos(0.55767043) × R
    0.04908739 × 0.848490246343458 × 6371000
    do = 265353.243476757m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.24543693) × cos(0.51548700) × R
    0.04908739 × 0.870052754632841 × 6371000
    du = 272096.610930584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.55767043)-sin(0.51548700))×
    abs(λ12)×abs(0.848490246343458-0.870052754632841)×
    abs(0.24543693-0.19634954)×0.0215625082893828×
    0.04908739×0.0215625082893828×6371000²
    0.04908739×0.0215625082893828×40589641000000
    ar = 72230705341.3935m²