Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68000 / 43936
↖ ↑ ↗
← N 50.903033°
E  6.767578°		 ← 192.61 m → N 50.903033°
E  6.770325°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.901301°
E  6.767578°		 ← 192.62 m →
37 097 m²		 N 50.901301°
E  6.770325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518802642822266 y=0.335208892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518802642822266 × 217)
    floor (0.518802642822266 × 131072)
    floor (68000.5)     		tx = 68000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335208892822266 × 217)
    floor (0.335208892822266 × 131072)
    floor (43936.5)     		ty = 43936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68000 / 43936 ti = "17/68000/43936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68000/43936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68000 ÷ 217
    68000 ÷ 131072     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43936 ÷ 217
    43936 ÷ 131072     		y = 0.335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335205078125 × 2 - 1) × π
    0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03543703179321))-π/2
    2×atan(2.8163367954276)-π/2
    2×1.22961092446496-π/2
    2.45922184892992-1.57079632675     		φ = 0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68000 KachelY 43936 0.11811652 0.88842552 6.767578 50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 68001 KachelY 43936 0.11816446 0.88842552 6.770325 50.903033
    Unten links KachelX 68000 KachelY + 1 43937 0.11811652 0.88839529 6.767578 50.901301
    Unten rechts KachelX + 1 68001 KachelY + 1 43937 0.11816446 0.88839529 6.770325 50.901301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88842552-0.88839529) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88842552-0.88839529) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11816446) × cos(0.88842552) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 192.612079031435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11816446) × cos(0.88839529) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630658190445041 × 6371000     		du = 192.619244503723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88842552)-sin(0.88839529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630658190445041)×R²
    abs(0.11816446-0.11811652)×2.34606038373997e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34606038373997e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34606038373997e-05×40589641000000     		ar = 37096.8769440776m²