Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68002 / 43938
↖ ↑ ↗
← N 50.899569°
E  6.773071°		 ← 192.63 m → N 50.899569°
E  6.775818°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.897837°
E  6.773071°		 ← 192.63 m →
37 100 m²		 N 50.897837°
E  6.775818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518817901611328 y=0.335224151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518817901611328 × 217)
    floor (0.518817901611328 × 131072)
    floor (68002.5)     		tx = 68002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335224151611328 × 217)
    floor (0.335224151611328 × 131072)
    floor (43938.5)     		ty = 43938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68002 / 43938 ti = "17/68002/43938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68002/43938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68002 ÷ 217
    68002 ÷ 131072     		x = 0.518814086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43938 ÷ 217
    43938 ÷ 131072     		y = 0.335220336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518814086914062 × 2 - 1) × π
    0.037628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11821239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335220336914062 × 2 - 1) × π
    0.329559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03534115799397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11821239} λ = 0.11821239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03534115799397))-π/2
    2×atan(2.81606679546225)-π/2
    2×1.22958069266662-π/2
    2.45916138533324-1.57079632675     		φ = 0.88836506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11821239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.773071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88836506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.899569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68002 KachelY 43938 0.11821239 0.88836506 6.773071 50.899569
    Oben rechts KachelX + 1 68003 KachelY 43938 0.11826033 0.88836506 6.775818 50.899569
    Unten links KachelX 68002 KachelY + 1 43939 0.11821239 0.88833483 6.773071 50.897837
    Unten rechts KachelX + 1 68003 KachelY + 1 43939 0.11826033 0.88833483 6.775818 50.897837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88836506-0.88833483) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88836506-0.88833483) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(0.88836506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630681650472549 × 6371000     		do = 192.626409799985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(0.88833483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630705109923707 × 6371000     		du = 192.633574920215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88836506)-sin(0.88833483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630681650472549-0.630705109923707)×R²
    abs(0.11826033-0.11821239)×2.34594511583364e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34594511583364e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34594511583364e-05×40589641000000     		ar = 37099.6369493295m²