Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68032 / 44224
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  6.855469°		 ← 194.68 m → N 50.401515°
E  6.858215°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.399764°
E  6.855469°		 ← 194.69 m →
37 904 m²		 N 50.399764°
E  6.858215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519046783447266 y=0.337406158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519046783447266 × 217)
    floor (0.519046783447266 × 131072)
    floor (68032.5)     		tx = 68032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337406158447266 × 217)
    floor (0.337406158447266 × 131072)
    floor (44224.5)     		ty = 44224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68032 / 44224 ti = "17/68032/44224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68032/44224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68032 ÷ 217
    68032 ÷ 131072     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44224 ÷ 217
    44224 ÷ 131072     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68032 KachelY 44224 0.11965050 0.87967239 6.855469 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 68033 KachelY 44224 0.11969844 0.87967239 6.858215 50.401515
    Unten links KachelX 68032 KachelY + 1 44225 0.11965050 0.87964183 6.855469 50.399764
    Unten rechts KachelX + 1 68033 KachelY + 1 44225 0.11969844 0.87964183 6.858215 50.399764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87964183) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87964183) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11969844) × cos(0.87967239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 194.679469802289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11969844) × cos(0.87964183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.637427158868228 × 6371000     		du = 194.686661693411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87964183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637427158868228)×R²
    abs(0.11969844-0.11965050)×2.35471022262956e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35471022262956e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35471022262956e-05×40589641000000     		ar = 37904.3568139615m²