Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68038 / 43782
↖ ↑ ↗
← N 51.169011°
E  6.871948°		 ← 191.51 m → N 51.169011°
E  6.874695°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 51.167289°
E  6.871948°		 ← 191.52 m →
36 677 m²		 N 51.167289°
E  6.874695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519092559814453 y=0.334033966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519092559814453 × 217)
    floor (0.519092559814453 × 131072)
    floor (68038.5)     		tx = 68038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334033966064453 × 217)
    floor (0.334033966064453 × 131072)
    floor (43782.5)     		ty = 43782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68038 / 43782 ti = "17/68038/43782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68038/43782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68038 ÷ 217
    68038 ÷ 131072     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43782 ÷ 217
    43782 ÷ 131072     		y = 0.334030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334030151367188 × 2 - 1) × π
    0.331939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0428193143347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0428193143347))-π/2
    2×atan(2.83720472107325)-π/2
    2×1.23193202255105-π/2
    2.46386404510211-1.57079632675     		φ = 0.89306772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89306772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.169011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68038 KachelY 43782 0.11993812 0.89306772 6.871948 51.169011
    Oben rechts KachelX + 1 68039 KachelY 43782 0.11998606 0.89306772 6.874695 51.169011
    Unten links KachelX 68038 KachelY + 1 43783 0.11993812 0.89303766 6.871948 51.167289
    Unten rechts KachelX + 1 68039 KachelY + 1 43783 0.11998606 0.89303766 6.874695 51.167289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89306772-0.89303766) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89306772-0.89303766) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(0.89306772) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627025230105 × 6371000     		do = 191.509644903531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(0.89303766) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627048646530079 × 6371000     		du = 191.516796882489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89306772)-sin(0.89303766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627025230105-0.627048646530079)×R²
    abs(0.11998606-0.11993812)×2.34164250789703e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34164250789703e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34164250789703e-05×40589641000000     		ar = 36677.1297559349m²