Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68044 / 43780
↖ ↑ ↗
← N 51.172455°
E  6.888427°		 ← 191.50 m → N 51.172455°
E  6.891174°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.170733°
E  6.888427°		 ← 191.50 m →
36 662 m²		 N 51.170733°
E  6.891174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519138336181641 y=0.334018707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519138336181641 × 217)
    floor (0.519138336181641 × 131072)
    floor (68044.5)     		tx = 68044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334018707275391 × 217)
    floor (0.334018707275391 × 131072)
    floor (43780.5)     		ty = 43780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68044 / 43780 ti = "17/68044/43780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68044/43780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68044 ÷ 217
    68044 ÷ 131072     		x = 0.519134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43780 ÷ 217
    43780 ÷ 131072     		y = 0.334014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519134521484375 × 2 - 1) × π
    0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334014892578125 × 2 - 1) × π
    0.33197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04291518813394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12022574} λ = 0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04291518813394))-π/2
    2×atan(2.83747674770899)-π/2
    2×1.2319620790742-π/2
    2.46392415814841-1.57079632675     		φ = 0.89312783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89312783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.172455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68044 KachelY 43780 0.12022574 0.89312783 6.888427 51.172455
    Oben rechts KachelX + 1 68045 KachelY 43780 0.12027368 0.89312783 6.891174 51.172455
    Unten links KachelX 68044 KachelY + 1 43781 0.12022574 0.89309778 6.888427 51.170733
    Unten rechts KachelX + 1 68045 KachelY + 1 43781 0.12027368 0.89309778 6.891174 51.170733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89312783-0.89309778) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89312783-0.89309778) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12022574-0.12027368) × cos(0.89312783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626978403345483 × 6371000     		do = 191.495342805798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12022574-0.12027368) × cos(0.89309778) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627001813113339 × 6371000     		du = 191.502492751469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89312783)-sin(0.89309778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626978403345483-0.627001813113339)×R²
    abs(0.12027368-0.12022574)×2.34097678558642e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34097678558642e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34097678558642e-05×40589641000000     		ar = 36662.1901380978m²