Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68045 / 43797
↖ ↑ ↗
← N 51.143171°
E  6.891174°		 ← 191.62 m → N 51.143171°
E  6.893921°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 51.141448°
E  6.891174°		 ← 191.62 m →
36 722 m²		 N 51.141448°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519145965576172 y=0.334148406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519145965576172 × 217)
    floor (0.519145965576172 × 131072)
    floor (68045.5)     		tx = 68045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334148406982422 × 217)
    floor (0.334148406982422 × 131072)
    floor (43797.5)     		ty = 43797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68045 / 43797 ti = "17/68045/43797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68045/43797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68045 ÷ 217
    68045 ÷ 131072     		x = 0.519142150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43797 ÷ 217
    43797 ÷ 131072     		y = 0.334144592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519142150878906 × 2 - 1) × π
    0.0382843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12027368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334144592285156 × 2 - 1) × π
    0.331710815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0421002608404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12027368} λ = 0.12027368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0421002608404))-π/2
    2×atan(2.83516535239997)-π/2
    2×1.23170652706802-π/2
    2.46341305413604-1.57079632675     		φ = 0.89261673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12027368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.891174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89261673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.143171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68045 KachelY 43797 0.12027368 0.89261673 6.891174 51.143171
    Oben rechts KachelX + 1 68046 KachelY 43797 0.12032162 0.89261673 6.893921 51.143171
    Unten links KachelX 68045 KachelY + 1 43798 0.12027368 0.89258665 6.891174 51.141448
    Unten rechts KachelX + 1 68046 KachelY + 1 43798 0.12032162 0.89258665 6.893921 51.141448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89261673-0.89258665) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dl = 191.639679999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89261673-0.89258665) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dr = 191.639679999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(0.89261673) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627376487062649 × 6371000     		do = 191.616927819751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(0.89258665) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.627399910558702 × 6371000     		du = 191.624081958366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89261673)-sin(0.89258665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627376487062649-0.627399910558702)×R²
    abs(0.12032162-0.12027368)×2.34234960533319e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34234960533319e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34234960533319e-05×40589641000000     		ar = 36722.0922411504m²