Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68048 / 43792
↖ ↑ ↗
← N 51.151786°
E  6.899414°		 ← 191.58 m → N 51.151786°
E  6.902161°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 51.150063°
E  6.899414°		 ← 191.59 m →
36 703 m²		 N 51.150063°
E  6.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519168853759766 y=0.334110260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519168853759766 × 217)
    floor (0.519168853759766 × 131072)
    floor (68048.5)     		tx = 68048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334110260009766 × 217)
    floor (0.334110260009766 × 131072)
    floor (43792.5)     		ty = 43792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68048 / 43792 ti = "17/68048/43792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68048/43792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68048 ÷ 217
    68048 ÷ 131072     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43792 ÷ 217
    43792 ÷ 131072     		y = 0.3341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3341064453125 × 2 - 1) × π
    0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0423399453385))-π/2
    2×atan(2.83584497902923)-π/2
    2×1.23178170626102-π/2
    2.46356341252204-1.57079632675     		φ = 0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68048 KachelY 43792 0.12041749 0.89276709 6.899414 51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 68049 KachelY 43792 0.12046543 0.89276709 6.902161 51.151786
    Unten links KachelX 68048 KachelY + 1 43793 0.12041749 0.89273702 6.899414 51.150063
    Unten rechts KachelX + 1 68049 KachelY + 1 43793 0.12046543 0.89273702 6.902161 51.150063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89276709-0.89273702) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89276709-0.89273702) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(0.89276709) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 191.581164040854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(0.89273702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627282810765851 × 6371000     		du = 191.588316667425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89276709)-sin(0.89273702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.627282810765851)×R²
    abs(0.12046543-0.12041749)×2.34185454425218e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34185454425218e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34185454425218e-05×40589641000000     		ar = 36703.032473451m²