Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68053 / 43771
↖ ↑ ↗
← N 51.187951°
E  6.913147°		 ← 191.39 m → N 51.187951°
E  6.915893°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 51.186230°
E  6.913147°		 ← 191.40 m →
36 630 m²		 N 51.186230°
E  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519207000732422 y=0.333950042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519207000732422 × 217)
    floor (0.519207000732422 × 131072)
    floor (68053.5)     		tx = 68053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333950042724609 × 217)
    floor (0.333950042724609 × 131072)
    floor (43771.5)     		ty = 43771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68053 / 43771 ti = "17/68053/43771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68053/43771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68053 ÷ 217
    68053 ÷ 131072     		x = 0.519203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43771 ÷ 217
    43771 ÷ 131072     		y = 0.333946228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519203186035156 × 2 - 1) × π
    0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333946228027344 × 2 - 1) × π
    0.332107543945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.04334662023052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12065718} λ = 0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04334662023052))-π/2
    2×atan(2.83870119036419)-π/2
    2×1.23209730564967-π/2
    2.46419461129933-1.57079632675     		φ = 0.89339828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89339828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.187951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68053 KachelY 43771 0.12065718 0.89339828 6.913147 51.187951
    Oben rechts KachelX + 1 68054 KachelY 43771 0.12070511 0.89339828 6.915893 51.187951
    Unten links KachelX 68053 KachelY + 1 43772 0.12065718 0.89336824 6.913147 51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 68054 KachelY + 1 43772 0.12070511 0.89336824 6.915893 51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89339828-0.89336824) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89339828-0.89336824) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(0.89339828) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626767689959979 × 6371000     		do = 191.391054144596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(0.89336824) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 191.398201775218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89339828)-sin(0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626767689959979-0.626791097030668)×R²
    abs(0.12070511-0.12065718)×2.340707068893e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.340707068893e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.340707068893e-05×40589641000000     		ar = 36630.0302518213m²