Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68064 / 43871
↖ ↑ ↗
← N 51.015483°
E  6.943359°		 ← 192.15 m → N 51.015483°
E  6.946106°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.013755°
E  6.943359°		 ← 192.15 m →
36 922 m²		 N 51.013755°
E  6.946106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519290924072266 y=0.334712982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519290924072266 × 217)
    floor (0.519290924072266 × 131072)
    floor (68064.5)     		tx = 68064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334712982177734 × 217)
    floor (0.334712982177734 × 131072)
    floor (43871.5)     		ty = 43871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68064 / 43871 ti = "17/68064/43871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68064/43871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68064 ÷ 217
    68064 ÷ 131072     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43871 ÷ 217
    43871 ÷ 131072     		y = 0.334709167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334709167480469 × 2 - 1) × π
    0.330581665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03855293026852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03855293026852))-π/2
    2×atan(2.82512590082347)-π/2
    2×1.23059223375554-π/2
    2.46118446751108-1.57079632675     		φ = 0.89038814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89038814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.015483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68064 KachelY 43871 0.12118448 0.89038814 6.943359 51.015483
    Oben rechts KachelX + 1 68065 KachelY 43871 0.12123242 0.89038814 6.946106 51.015483
    Unten links KachelX 68064 KachelY + 1 43872 0.12118448 0.89035798 6.943359 51.013755
    Unten rechts KachelX + 1 68065 KachelY + 1 43872 0.12123242 0.89035798 6.946106 51.013755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89038814-0.89035798) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89038814-0.89035798) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12123242) × cos(0.89038814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629110366541888 × 6371000     		do = 192.146499242713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12123242) × cos(0.89035798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629133810105984 × 6371000     		du = 192.153659510625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89038814)-sin(0.89035798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629110366541888-0.629133810105984)×R²
    abs(0.12123242-0.12118448)×2.34435640963371e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34435640963371e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34435640963371e-05×40589641000000     		ar = 36921.5147788574m²