Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68092 / 43516
↖ ↑ ↗
← N 51.624837°
E  7.020264°		 ← 189.57 m → N 51.624837°
E  7.023010°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.623132°
E  7.020264°		 ← 189.58 m →
35 944 m²		 N 51.623132°
E  7.023010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519504547119141 y=0.332004547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519504547119141 × 217)
    floor (0.519504547119141 × 131072)
    floor (68092.5)     		tx = 68092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332004547119141 × 217)
    floor (0.332004547119141 × 131072)
    floor (43516.5)     		ty = 43516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68092 / 43516 ti = "17/68092/43516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68092/43516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68092 ÷ 217
    68092 ÷ 131072     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43516 ÷ 217
    43516 ÷ 131072     		y = 0.332000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332000732421875 × 2 - 1) × π
    0.33599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05557052963364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05557052963364))-π/2
    2×atan(2.87361416834241)-π/2
    2×1.23590985814525-π/2
    2.4718197162905-1.57079632675     		φ = 0.90102339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90102339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.624837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68092 KachelY 43516 0.12252672 0.90102339 7.020264 51.624837
    Oben rechts KachelX + 1 68093 KachelY 43516 0.12257465 0.90102339 7.023010 51.624837
    Unten links KachelX 68092 KachelY + 1 43517 0.12252672 0.90099363 7.020264 51.623132
    Unten rechts KachelX + 1 68093 KachelY + 1 43517 0.12257465 0.90099363 7.023010 51.623132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90102339-0.90099363) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90102339-0.90099363) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(0.90102339) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		do = 189.571189278889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(0.90099363) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.620831324423612 × 6371000     		du = 189.578313513534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90102339)-sin(0.90099363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6208079939701-0.620831324423612)×R²
    abs(0.12257465-0.12252672)×2.33304535114387e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.33304535114387e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.33304535114387e-05×40589641000000     		ar = 35943.5548590319m²