Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68095 / 43519
↖ ↑ ↗
← N 51.619722°
E  7.028504°		 ← 189.59 m → N 51.619722°
E  7.031250°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.618016°
E  7.028504°		 ← 189.60 m →
35 960 m²		 N 51.618016°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519527435302734 y=0.332027435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519527435302734 × 217)
    floor (0.519527435302734 × 131072)
    floor (68095.5)     		tx = 68095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332027435302734 × 217)
    floor (0.332027435302734 × 131072)
    floor (43519.5)     		ty = 43519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68095 / 43519 ti = "17/68095/43519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68095/43519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68095 ÷ 217
    68095 ÷ 131072     		x = 0.519523620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43519 ÷ 217
    43519 ÷ 131072     		y = 0.332023620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519523620605469 × 2 - 1) × π
    0.0390472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12267053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332023620605469 × 2 - 1) × π
    0.335952758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05542671893478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12267053} λ = 0.12267053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05542671893478))-π/2
    2×atan(2.87320094159453)-π/2
    2×1.23586521621308-π/2
    2.47173043242615-1.57079632675     		φ = 0.90093411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12267053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.028504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90093411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.619722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68095 KachelY 43519 0.12267053 0.90093411 7.028504 51.619722
    Oben rechts KachelX + 1 68096 KachelY 43519 0.12271846 0.90093411 7.031250 51.619722
    Unten links KachelX 68095 KachelY + 1 43520 0.12267053 0.90090434 7.028504 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 68096 KachelY + 1 43520 0.12271846 0.90090434 7.031250 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90093411-0.90090434) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90093411-0.90090434) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12267053-0.12271846) × cos(0.90093411) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620877983681082 × 6371000     		do = 189.592561479168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12267053-0.12271846) × cos(0.90090434) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 189.599687603789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90093411)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620877983681082-0.620901320323887)×R²
    abs(0.12271846-0.12267053)×2.33366428049608e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33366428049608e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33366428049608e-05×40589641000000     		ar = 35959.6863971787m²