Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68098 / 43522
↖ ↑ ↗
← N 51.614606°
E  7.036743°		 ← 189.61 m → N 51.614606°
E  7.039490°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.612900°
E  7.036743°		 ← 189.62 m →
35 964 m²		 N 51.612900°
E  7.039490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519550323486328 y=0.332050323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519550323486328 × 217)
    floor (0.519550323486328 × 131072)
    floor (68098.5)     		tx = 68098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332050323486328 × 217)
    floor (0.332050323486328 × 131072)
    floor (43522.5)     		ty = 43522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68098 / 43522 ti = "17/68098/43522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68098/43522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68098 ÷ 217
    68098 ÷ 131072     		x = 0.519546508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43522 ÷ 217
    43522 ÷ 131072     		y = 0.332046508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519546508789062 × 2 - 1) × π
    0.039093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12281434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332046508789062 × 2 - 1) × π
    0.335906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05528290823592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12281434} λ = 0.12281434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05528290823592))-π/2
    2×atan(2.87278777426881)-π/2
    2×1.23582056924795-π/2
    2.47164113849589-1.57079632675     		φ = 0.90084481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12281434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.036743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90084481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.614606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68098 KachelY 43522 0.12281434 0.90084481 7.036743 51.614606
    Oben rechts KachelX + 1 68099 KachelY 43522 0.12286227 0.90084481 7.039490 51.614606
    Unten links KachelX 68098 KachelY + 1 43523 0.12281434 0.90081504 7.036743 51.612900
    Unten rechts KachelX + 1 68099 KachelY + 1 43523 0.12286227 0.90081504 7.039490 51.612900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90084481-0.90081504) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90084481-0.90081504) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12281434-0.12286227) × cos(0.90084481) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620947984120132 × 6371000     		do = 189.613936955337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12281434-0.12286227) × cos(0.90081504) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.620971319112233 × 6371000     		du = 189.621062575895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90084481)-sin(0.90081504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620947984120132-0.620971319112233)×R²
    abs(0.12286227-0.12281434)×2.33349921009429e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33349921009429e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33349921009429e-05×40589641000000     		ar = 35963.7405220235m²