Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68100 / 43524
↖ ↑ ↗
← N 51.611195°
E  7.042236°		 ← 189.67 m → N 51.611195°
E  7.044983°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.609489°
E  7.042236°		 ← 189.67 m →
35 974 m²		 N 51.609489°
E  7.044983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519565582275391 y=0.332065582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519565582275391 × 217)
    floor (0.519565582275391 × 131072)
    floor (68100.5)     		tx = 68100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332065582275391 × 217)
    floor (0.332065582275391 × 131072)
    floor (43524.5)     		ty = 43524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68100 / 43524 ti = "17/68100/43524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68100/43524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68100 ÷ 217
    68100 ÷ 131072     		x = 0.519561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43524 ÷ 217
    43524 ÷ 131072     		y = 0.332061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519561767578125 × 2 - 1) × π
    0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332061767578125 × 2 - 1) × π
    0.33587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05518703443668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12291021} λ = 0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05518703443668))-π/2
    2×atan(2.87251236239308)-π/2
    2×1.23579080180833-π/2
    2.47158160361667-1.57079632675     		φ = 0.90078528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90078528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68100 KachelY 43524 0.12291021 0.90078528 7.042236 51.611195
    Oben rechts KachelX + 1 68101 KachelY 43524 0.12295815 0.90078528 7.044983 51.611195
    Unten links KachelX 68100 KachelY + 1 43525 0.12291021 0.90075551 7.042236 51.609489
    Unten rechts KachelX + 1 68101 KachelY + 1 43525 0.12295815 0.90075551 7.044983 51.609489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90078528-0.90075551) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90078528-0.90075551) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(0.90078528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.620994645715848 × 6371000     		do = 189.667749203786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(0.90075551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621017979607438 × 6371000     		du = 189.674875974892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90078528)-sin(0.90075551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620994645715848-0.621017979607438)×R²
    abs(0.12295815-0.12291021)×2.33338915899273e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33338915899273e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33338915899273e-05×40589641000000     		ar = 35973.9469133929m²