Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68102 / 43526
↖ ↑ ↗
← N 51.607783°
E  7.047729°		 ← 189.68 m → N 51.607783°
E  7.050476°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.606078°
E  7.047729°		 ← 189.69 m →
35 977 m²		 N 51.606078°
E  7.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519580841064453 y=0.332080841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519580841064453 × 217)
    floor (0.519580841064453 × 131072)
    floor (68102.5)     		tx = 68102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332080841064453 × 217)
    floor (0.332080841064453 × 131072)
    floor (43526.5)     		ty = 43526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68102 / 43526 ti = "17/68102/43526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68102/43526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68102 ÷ 217
    68102 ÷ 131072     		x = 0.519577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43526 ÷ 217
    43526 ÷ 131072     		y = 0.332077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519577026367188 × 2 - 1) × π
    0.039154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12300608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332077026367188 × 2 - 1) × π
    0.335845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05509116063744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12300608} λ = 0.12300608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05509116063744))-π/2
    2×atan(2.87223697692087)-π/2
    2×1.23576103213169-π/2
    2.47152206426339-1.57079632675     		φ = 0.90072574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12300608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90072574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.607783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68102 KachelY 43526 0.12300608 0.90072574 7.047729 51.607783
    Oben rechts KachelX + 1 68103 KachelY 43526 0.12305402 0.90072574 7.050476 51.607783
    Unten links KachelX 68102 KachelY + 1 43527 0.12300608 0.90069597 7.047729 51.606078
    Unten rechts KachelX + 1 68103 KachelY + 1 43527 0.12305402 0.90069597 7.050476 51.606078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90072574-0.90069597) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90072574-0.90069597) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12300608-0.12305402) × cos(0.90072574) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		do = 189.682002577898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12300608-0.12305402) × cos(0.90069597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62106464573946 × 6371000     		du = 189.689129012798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90072574)-sin(0.90069597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621041312948649-0.62106464573946)×R²
    abs(0.12305402-0.12300608)×2.33327908113479e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33327908113479e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33327908113479e-05×40589641000000     		ar = 35976.6502430272m²