Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68104 / 43512
↖ ↑ ↗
← N 51.631657°
E  7.053223°		 ← 189.58 m → N 51.631657°
E  7.055970°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 51.629952°
E  7.053223°		 ← 189.59 m →
35 946 m²		 N 51.629952°
E  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519596099853516 y=0.331974029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519596099853516 × 217)
    floor (0.519596099853516 × 131072)
    floor (68104.5)     		tx = 68104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331974029541016 × 217)
    floor (0.331974029541016 × 131072)
    floor (43512.5)     		ty = 43512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68104 / 43512 ti = "17/68104/43512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68104/43512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68104 ÷ 217
    68104 ÷ 131072     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43512 ÷ 217
    43512 ÷ 131072     		y = 0.33197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33197021484375 × 2 - 1) × π
    0.3360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05576227723212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05576227723212))-π/2
    2×atan(2.87416522978881)-π/2
    2×1.2359693728928-π/2
    2.4719387457856-1.57079632675     		φ = 0.90114242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90114242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68104 KachelY 43512 0.12310196 0.90114242 7.053223 51.631657
    Oben rechts KachelX + 1 68105 KachelY 43512 0.12314990 0.90114242 7.055970 51.631657
    Unten links KachelX 68104 KachelY + 1 43513 0.12310196 0.90111266 7.053223 51.629952
    Unten rechts KachelX + 1 68105 KachelY + 1 43513 0.12314990 0.90111266 7.055970 51.629952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90114242-0.90111266) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90114242-0.90111266) × R
    2.97599999999898e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90114242) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		do = 189.582238787571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90111266) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.620738007150889 × 6371000     		du = 189.589365180226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90114242)-sin(0.90111266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620714674498393-0.620738007150889)×R²
    abs(0.12314990-0.12310196)×2.33326524960997e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33326524960997e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33326524960997e-05×40589641000000     		ar = 35945.6500611223m²