Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68104 / 43528
↖ ↑ ↗
← N 51.604371°
E  7.053223°		 ← 189.70 m → N 51.604371°
E  7.055970°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.602666°
E  7.053223°		 ← 189.70 m →
35 979 m²		 N 51.602666°
E  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519596099853516 y=0.332096099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519596099853516 × 217)
    floor (0.519596099853516 × 131072)
    floor (68104.5)     		tx = 68104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332096099853516 × 217)
    floor (0.332096099853516 × 131072)
    floor (43528.5)     		ty = 43528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68104 / 43528 ti = "17/68104/43528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68104/43528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68104 ÷ 217
    68104 ÷ 131072     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43528 ÷ 217
    43528 ÷ 131072     		y = 0.33209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33209228515625 × 2 - 1) × π
    0.3358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0549952868382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0549952868382))-π/2
    2×atan(2.87196161784965)-π/2
    2×1.23573126021796-π/2
    2.47146252043593-1.57079632675     		φ = 0.90066619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90066619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.604371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68104 KachelY 43528 0.12310196 0.90066619 7.053223 51.604371
    Oben rechts KachelX + 1 68105 KachelY 43528 0.12314990 0.90066619 7.055970 51.604371
    Unten links KachelX 68104 KachelY + 1 43529 0.12310196 0.90063642 7.053223 51.602666
    Unten rechts KachelX + 1 68105 KachelY + 1 43529 0.12314990 0.90063642 7.055970 51.602666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90066619-0.90063642) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90066619-0.90063642) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90066619) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621087985817259 × 6371000     		do = 189.696257673386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90063642) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621111317507024 × 6371000     		du = 189.703383771998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90066619)-sin(0.90063642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621087985817259-0.621111317507024)×R²
    abs(0.12314990-0.12310196)×2.33316897649827e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33316897649827e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33316897649827e-05×40589641000000     		ar = 35979.3538991004m²