Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68104 / 43544
↖ ↑ ↗
← N 51.577069°
E  7.053223°		 ← 189.81 m → N 51.577069°
E  7.055970°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.575363°
E  7.053223°		 ← 189.82 m →
36 025 m²		 N 51.575363°
E  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519596099853516 y=0.332218170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519596099853516 × 217)
    floor (0.519596099853516 × 131072)
    floor (68104.5)     		tx = 68104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332218170166016 × 217)
    floor (0.332218170166016 × 131072)
    floor (43544.5)     		ty = 43544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68104 / 43544 ti = "17/68104/43544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68104/43544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68104 ÷ 217
    68104 ÷ 131072     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43544 ÷ 217
    43544 ÷ 131072     		y = 0.33221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33221435546875 × 2 - 1) × π
    0.3355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05422829644427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05422829644427))-π/2
    2×atan(2.86975969541167)-π/2
    2×1.23549300436541-π/2
    2.47098600873083-1.57079632675     		φ = 0.90018968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90018968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.577069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68104 KachelY 43544 0.12310196 0.90018968 7.053223 51.577069
    Oben rechts KachelX + 1 68105 KachelY 43544 0.12314990 0.90018968 7.055970 51.577069
    Unten links KachelX 68104 KachelY + 1 43545 0.12310196 0.90015989 7.053223 51.575363
    Unten rechts KachelX + 1 68105 KachelY + 1 43545 0.12314990 0.90015989 7.055970 51.575363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90018968-0.90015989) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90018968-0.90015989) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90018968) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621461375641039 × 6371000     		do = 189.810300536623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(0.90015989) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621484714185947 × 6371000     		du = 189.817428728972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90018968)-sin(0.90015989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621461375641039-0.621484714185947)×R²
    abs(0.12314990-0.12310196)×2.33385449073253e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33385449073253e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33385449073253e-05×40589641000000     		ar = 36025.1700822873m²