Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68112 / 43536
↖ ↑ ↗
← N 51.590722°
E  7.075195°		 ← 189.75 m → N 51.590722°
E  7.077942°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.589016°
E  7.075195°		 ← 189.76 m →
36 002 m²		 N 51.589016°
E  7.077942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519657135009766 y=0.332157135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519657135009766 × 217)
    floor (0.519657135009766 × 131072)
    floor (68112.5)     		tx = 68112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332157135009766 × 217)
    floor (0.332157135009766 × 131072)
    floor (43536.5)     		ty = 43536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68112 / 43536 ti = "17/68112/43536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68112/43536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68112 ÷ 217
    68112 ÷ 131072     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43536 ÷ 217
    43536 ÷ 131072     		y = 0.3321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3321533203125 × 2 - 1) × π
    0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05461179164124))-π/2
    2×atan(2.87086044552399)-π/2
    2×1.2356121501909-π/2
    2.47122430038181-1.57079632675     		φ = 0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68112 KachelY 43536 0.12348545 0.90042797 7.075195 51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 68113 KachelY 43536 0.12353339 0.90042797 7.077942 51.590722
    Unten links KachelX 68112 KachelY + 1 43537 0.12348545 0.90039819 7.075195 51.589016
    Unten rechts KachelX + 1 68113 KachelY + 1 43537 0.12353339 0.90039819 7.077942 51.589016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90042797-0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90042797-0.90039819) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12353339) × cos(0.90042797) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 189.753276114189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12353339) × cos(0.90039819) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621298006056993 × 6371000     		du = 189.760403260522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90042797)-sin(0.90039819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621298006056993)×R²
    abs(0.12353339-0.12348545)×2.3335120126311e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3335120126311e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3335120126311e-05×40589641000000     		ar = 36002.2577904396m²