Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68128 / 43552
↖ ↑ ↗
← N 51.563412°
E  7.119140°		 ← 189.87 m → N 51.563412°
E  7.121887°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.561705°
E  7.119140°		 ← 189.87 m →
36 048 m²		 N 51.561705°
E  7.121887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519779205322266 y=0.332279205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519779205322266 × 217)
    floor (0.519779205322266 × 131072)
    floor (68128.5)     		tx = 68128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332279205322266 × 217)
    floor (0.332279205322266 × 131072)
    floor (43552.5)     		ty = 43552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68128 / 43552 ti = "17/68128/43552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68128/43552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68128 ÷ 217
    68128 ÷ 131072     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43552 ÷ 217
    43552 ÷ 131072     		y = 0.332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332275390625 × 2 - 1) × π
    0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05384480124731))-π/2
    2×atan(2.8686593673508)-π/2
    2×1.2353738227375-π/2
    2.470747645475-1.57079632675     		φ = 0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68128 KachelY 43552 0.12425244 0.89995132 7.119140 51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 68129 KachelY 43552 0.12430038 0.89995132 7.121887 51.563412
    Unten links KachelX 68128 KachelY + 1 43553 0.12425244 0.89992152 7.119140 51.561705
    Unten rechts KachelX + 1 68129 KachelY + 1 43553 0.12430038 0.89992152 7.121887 51.561705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89995132-0.89992152) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dl = 189.855799999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89995132-0.89992152) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dr = 189.855799999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12430038) × cos(0.89995132) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 189.867330927897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12430038) × cos(0.89992152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621671441852187 × 6371000     		du = 189.874460164557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89995132)-sin(0.89992152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.621671441852187)×R²
    abs(0.12430038-0.12425244)×2.3341964104362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3341964104362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3341964104362e-05×40589641000000     		ar = 36048.0907731208m²