Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68128 / 43873
↖ ↑ ↗
← N 51.012026°
E  7.119140°		 ← 192.16 m → N 51.012026°
E  7.121887°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.010298°
E  7.119140°		 ← 192.17 m →
36 924 m²		 N 51.010298°
E  7.121887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519779205322266 y=0.334728240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519779205322266 × 217)
    floor (0.519779205322266 × 131072)
    floor (68128.5)     		tx = 68128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334728240966797 × 217)
    floor (0.334728240966797 × 131072)
    floor (43873.5)     		ty = 43873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68128 / 43873 ti = "17/68128/43873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68128/43873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68128 ÷ 217
    68128 ÷ 131072     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43873 ÷ 217
    43873 ÷ 131072     		y = 0.334724426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334724426269531 × 2 - 1) × π
    0.330551147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03845705646928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03845705646928))-π/2
    2×atan(2.82485505825359)-π/2
    2×1.23056207503133-π/2
    2.46112415006266-1.57079632675     		φ = 0.89032782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89032782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.012026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68128 KachelY 43873 0.12425244 0.89032782 7.119140 51.012026
    Oben rechts KachelX + 1 68129 KachelY 43873 0.12430038 0.89032782 7.121887 51.012026
    Unten links KachelX 68128 KachelY + 1 43874 0.12425244 0.89029766 7.119140 51.010298
    Unten rechts KachelX + 1 68129 KachelY + 1 43874 0.12430038 0.89029766 7.121887 51.010298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89032782-0.89029766) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89032782-0.89029766) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12430038) × cos(0.89032782) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629157253097804 × 6371000     		do = 192.160819603749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12430038) × cos(0.89029766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629180695517327 × 6371000     		du = 192.167979522079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89032782)-sin(0.89029766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629157253097804-0.629180695517327)×R²
    abs(0.12430038-0.12425244)×2.3442419522568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3442419522568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3442419522568e-05×40589641000000     		ar = 36924.2663937545m²