Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68132 / 43556
↖ ↑ ↗
← N 51.556582°
E  7.130127°		 ← 189.90 m → N 51.556582°
E  7.132874°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.554875°
E  7.130127°		 ← 189.90 m →
36 054 m²		 N 51.554875°
E  7.132874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519809722900391 y=0.332309722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519809722900391 × 217)
    floor (0.519809722900391 × 131072)
    floor (68132.5)     		tx = 68132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332309722900391 × 217)
    floor (0.332309722900391 × 131072)
    floor (43556.5)     		ty = 43556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68132 / 43556 ti = "17/68132/43556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68132/43556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68132 ÷ 217
    68132 ÷ 131072     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43556 ÷ 217
    43556 ÷ 131072     		y = 0.332305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332305908203125 × 2 - 1) × π
    0.33538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05365305364883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05365305364883))-π/2
    2×atan(2.86810936153908)-π/2
    2×1.23531421849639-π/2
    2.47062843699278-1.57079632675     		φ = 0.89983211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89983211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.556582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68132 KachelY 43556 0.12444419 0.89983211 7.130127 51.556582
    Oben rechts KachelX + 1 68133 KachelY 43556 0.12449213 0.89983211 7.132874 51.556582
    Unten links KachelX 68132 KachelY + 1 43557 0.12444419 0.89980231 7.130127 51.554875
    Unten rechts KachelX + 1 68133 KachelY + 1 43557 0.12449213 0.89980231 7.132874 51.554875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89983211-0.89980231) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dl = 189.855799999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89983211-0.89980231) × R
    2.97999999999687e-05 × 6371000     		dr = 189.855799999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12449213) × cos(0.89983211) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621741472264228 × 6371000     		do = 189.895849255032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12449213) × cos(0.89980231) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.621764812019746 × 6371000     		du = 189.902977817132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89983211)-sin(0.89980231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621741472264228-0.621764812019746)×R²
    abs(0.12449213-0.12444419)×2.33397555183812e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33397555183812e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33397555183812e-05×40589641000000     		ar = 36053.5050791633m²