Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68136 / 43560
↖ ↑ ↗
← N 51.549751°
E  7.141113°		 ← 189.92 m → N 51.549751°
E  7.143860°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
N 51.548043°
E  7.141113°		 ← 189.93 m →
36 071 m²		 N 51.548043°
E  7.143860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519840240478516 y=0.332340240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519840240478516 × 217)
    floor (0.519840240478516 × 131072)
    floor (68136.5)     		tx = 68136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332340240478516 × 217)
    floor (0.332340240478516 × 131072)
    floor (43560.5)     		ty = 43560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68136 / 43560 ti = "17/68136/43560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68136/43560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68136 ÷ 217
    68136 ÷ 131072     		x = 0.51983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43560 ÷ 217
    43560 ÷ 131072     		y = 0.33233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51983642578125 × 2 - 1) × π
    0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33233642578125 × 2 - 1) × π
    0.3353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05346130605035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12463594} λ = 0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05346130605035))-π/2
    2×atan(2.86755946117955)-π/2
    2×1.23525460530318-π/2
    2.47050921060637-1.57079632675     		φ = 0.89971288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89971288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.549751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68136 KachelY 43560 0.12463594 0.89971288 7.141113 51.549751
    Oben rechts KachelX + 1 68137 KachelY 43560 0.12468388 0.89971288 7.143860 51.549751
    Unten links KachelX 68136 KachelY + 1 43561 0.12463594 0.89968307 7.141113 51.548043
    Unten rechts KachelX + 1 68137 KachelY + 1 43561 0.12468388 0.89968307 7.143860 51.548043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89971288-0.89968307) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89971288-0.89968307) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12463594-0.12468388) × cos(0.89971288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621834851467758 × 6371000     		do = 189.924369667316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12463594-0.12468388) × cos(0.89968307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621858196845287 × 6371000     		du = 189.931499946523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89971288)-sin(0.89968307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621834851467758-0.621858196845287)×R²
    abs(0.12468388-0.12463594)×2.33453775286829e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33453775286829e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33453775286829e-05×40589641000000     		ar = 36071.0203166338m²