Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68384 / 43296
↖ ↑ ↗
← N 51.998411°
E  7.822266°		 ← 188.05 m → N 51.998411°
E  7.825012°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.996719°
E  7.822266°		 ← 188.05 m →
35 367 m²		 N 51.996719°
E  7.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521732330322266 y=0.330326080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521732330322266 × 217)
    floor (0.521732330322266 × 131072)
    floor (68384.5)     		tx = 68384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330326080322266 × 217)
    floor (0.330326080322266 × 131072)
    floor (43296.5)     		ty = 43296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68384 / 43296 ti = "17/68384/43296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68384/43296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68384 ÷ 217
    68384 ÷ 131072     		x = 0.521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43296 ÷ 217
    43296 ÷ 131072     		y = 0.330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521728515625 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330322265625 × 2 - 1) × π
    0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13652429} λ = 0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06611664755005))-π/2
    2×atan(2.90408000800823)-π/2
    2×1.23916989687603-π/2
    2.47833979375205-1.57079632675     		φ = 0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68384 KachelY 43296 0.13652429 0.90754347 7.822266 51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 68385 KachelY 43296 0.13657223 0.90754347 7.825012 51.998411
    Unten links KachelX 68384 KachelY + 1 43297 0.13652429 0.90751395 7.822266 51.996719
    Unten rechts KachelX + 1 68385 KachelY + 1 43297 0.13657223 0.90751395 7.825012 51.996719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90754347-0.90751395) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90754347-0.90751395) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13652429-0.13657223) × cos(0.90754347) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 188.04553829707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13652429-0.13657223) × cos(0.90751395) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615706596629269 × 6371000     		du = 188.052642898362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90754347)-sin(0.90751395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.615706596629269)×R²
    abs(0.13657223-0.13652429)×2.32613049968577e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32613049968577e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32613049968577e-05×40589641000000     		ar = 35366.753525507m²