Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69121 / 42497
↖ ↑ ↗
← N 53.329233°
E  9.846497°		 ← 182.37 m → N 53.329233°
E  9.849243°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 53.327592°
E  9.846497°		 ← 182.37 m →
33 265 m²		 N 53.327592°
E  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527355194091797 y=0.324230194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527355194091797 × 217)
    floor (0.527355194091797 × 131072)
    floor (69121.5)     		tx = 69121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324230194091797 × 217)
    floor (0.324230194091797 × 131072)
    floor (42497.5)     		ty = 42497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69121 / 42497 ti = "17/69121/42497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69121/42497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69121 ÷ 217
    69121 ÷ 131072     		x = 0.527351379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42497 ÷ 217
    42497 ÷ 131072     		y = 0.324226379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527351379394531 × 2 - 1) × π
    0.0547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17185379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324226379394531 × 2 - 1) × π
    0.351547241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10441823034647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17185379} λ = 0.17185379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10441823034647))-π/2
    2×atan(3.01746848647158)-π/2
    2×1.25078351257981-π/2
    2.50156702515963-1.57079632675     		φ = 0.93077070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17185379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.846497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93077070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.329233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69121 KachelY 42497 0.17185379 0.93077070 9.846497 53.329233
    Oben rechts KachelX + 1 69122 KachelY 42497 0.17190172 0.93077070 9.849243 53.329233
    Unten links KachelX 69121 KachelY + 1 42498 0.17185379 0.93074207 9.846497 53.327592
    Unten rechts KachelX + 1 69122 KachelY + 1 42498 0.17190172 0.93074207 9.849243 53.327592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93077070-0.93074207) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93077070-0.93074207) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17185379-0.17190172) × cos(0.93077070) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597215996309766 × 6371000     		do = 182.367088981629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17185379-0.17190172) × cos(0.93074207) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597238959628382 × 6371000     		du = 182.374101107217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93077070)-sin(0.93074207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597215996309766-0.597238959628382)×R²
    abs(0.17190172-0.17185379)×2.29633186160649e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.29633186160649e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.29633186160649e-05×40589641000000     		ar = 33264.712039438m²