Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69122 / 42498
↖ ↑ ↗
← N 53.327592°
E  9.849243°		 ← 182.41 m → N 53.327592°
E  9.851990°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 53.325952°
E  9.849243°		 ← 182.42 m →
33 273 m²		 N 53.325952°
E  9.851990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527362823486328 y=0.324237823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527362823486328 × 217)
    floor (0.527362823486328 × 131072)
    floor (69122.5)     		tx = 69122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324237823486328 × 217)
    floor (0.324237823486328 × 131072)
    floor (42498.5)     		ty = 42498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69122 / 42498 ti = "17/69122/42498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69122/42498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69122 ÷ 217
    69122 ÷ 131072     		x = 0.527359008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42498 ÷ 217
    42498 ÷ 131072     		y = 0.324234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527359008789062 × 2 - 1) × π
    0.054718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17190172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324234008789062 × 2 - 1) × π
    0.351531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10437029344685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17190172} λ = 0.17190172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10437029344685))-π/2
    2×atan(3.01732384185457)-π/2
    2×1.25076919796296-π/2
    2.50153839592592-1.57079632675     		φ = 0.93074207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17190172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93074207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.327592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69122 KachelY 42498 0.17190172 0.93074207 9.849243 53.327592
    Oben rechts KachelX + 1 69123 KachelY 42498 0.17194966 0.93074207 9.851990 53.327592
    Unten links KachelX 69122 KachelY + 1 42499 0.17190172 0.93071344 9.849243 53.325952
    Unten rechts KachelX + 1 69123 KachelY + 1 42499 0.17194966 0.93071344 9.851990 53.325952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93074207-0.93071344) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93074207-0.93071344) × R
    2.8629999999974e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17190172-0.17194966) × cos(0.93074207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597238959628382 × 6371000     		do = 182.412151201315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17190172-0.17194966) × cos(0.93071344) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597261922457455 × 6371000     		du = 182.419164640377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93074207)-sin(0.93071344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597238959628382-0.597261922457455)×R²
    abs(0.17194966-0.17190172)×2.29628290731032e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.29628290731032e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29628290731032e-05×40589641000000     		ar = 33272.9315859998m²