Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69152 / 44576
↖ ↑ ↗
← N 49.781264°
E  9.931641°		 ← 197.22 m → N 49.781264°
E  9.934387°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.779491°
E  9.931641°		 ← 197.22 m →
38 888 m²		 N 49.779491°
E  9.934387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527591705322266 y=0.340091705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527591705322266 × 217)
    floor (0.527591705322266 × 131072)
    floor (69152.5)     		tx = 69152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340091705322266 × 217)
    floor (0.340091705322266 × 131072)
    floor (44576.5)     		ty = 44576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69152 / 44576 ti = "17/69152/44576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69152/44576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69152 ÷ 217
    69152 ÷ 131072     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44576 ÷ 217
    44576 ÷ 131072     		y = 0.340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340087890625 × 2 - 1) × π
    0.31982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00475741603638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00475741603638))-π/2
    2×atan(2.73124463630718)-π/2
    2×1.21982164519814-π/2
    2.43964329039628-1.57079632675     		φ = 0.86884696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86884696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.781264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69152 KachelY 44576 0.17333983 0.86884696 9.931641 49.781264
    Oben rechts KachelX + 1 69153 KachelY 44576 0.17338777 0.86884696 9.934387 49.781264
    Unten links KachelX 69152 KachelY + 1 44577 0.17333983 0.86881601 9.931641 49.779491
    Unten rechts KachelX + 1 69153 KachelY + 1 44577 0.17338777 0.86881601 9.934387 49.779491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86884696-0.86881601) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86884696-0.86881601) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17338777) × cos(0.86884696) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645707420233467 × 6371000     		do = 197.215666648283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17338777) × cos(0.86881601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645731052877422 × 6371000     		du = 197.222884666051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86884696)-sin(0.86881601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645707420233467-0.645731052877422)×R²
    abs(0.17338777-0.17333983)×2.36326439552181e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36326439552181e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36326439552181e-05×40589641000000     		ar = 38888.1799642902m²