Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6916 / 9988
↖ ↑ ↗
← S 36.668419°
W 28.037109°		 ← 1 959.71 m → S 36.668419°
W 28.015137°		 →
↑
1 959.53 m
↓
↑
1 959.53 m
↓
S 36.686041°
W 28.037109°		 ← 1 959.27 m →
3 839 677 m²		 S 36.686041°
W 28.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422149658203125 y=0.609649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422149658203125 × 214)
    floor (0.422149658203125 × 16384)
    floor (6916.5)     		tx = 6916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609649658203125 × 214)
    floor (0.609649658203125 × 16384)
    floor (9988.5)     		ty = 9988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6916 / 9988 ti = "14/6916/9988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6916/9988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6916 ÷ 214
    6916 ÷ 16384     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9988 ÷ 214
    9988 ÷ 16384     		y = 0.609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.21923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.688757373740967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.688757373740967))-π/2
    2×atan(0.502199728067655)-π/2
    2×0.465405842587234-π/2
    0.930811685174467-1.57079632675     		φ = -0.63998464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63998464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.668419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6916 KachelY 9988 -0.48933987 -0.63998464 -28.037109 -36.668419
    Oben rechts KachelX + 1 6917 KachelY 9988 -0.48895638 -0.63998464 -28.015137 -36.668419
    Unten links KachelX 6916 KachelY + 1 9989 -0.48933987 -0.64029221 -28.037109 -36.686041
    Unten rechts KachelX + 1 6917 KachelY + 1 9989 -0.48895638 -0.64029221 -28.015137 -36.686041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63998464--0.64029221) × R
    0.000307570000000035 × 6371000     		dl = 1959.52847000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63998464--0.64029221) × R
    0.000307570000000035 × 6371000     		dr = 1959.52847000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48895638) × cos(-0.63998464) × R
    0.000383489999999986 × 0.802104930711653 × 6371000     		do = 1959.71462984657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48895638) × cos(-0.64029221) × R
    0.000383489999999986 × 0.801921217162707 × 6371000     		du = 1959.26577818666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63998464)-sin(-0.64029221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802104930711653-0.801921217162707)×R²
    abs(-0.48895638--0.48933987)×0.000183713548945308×R²
    0.000383489999999986×0.000183713548945308×6371000²
    0.000383489999999986×0.000183713548945308×40589641000000     		ar = 3839676.87172658m²