Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69376 / 44800
↖ ↑ ↗
← N 49.382373°
E 10.546875°		 ← 198.83 m → N 49.382373°
E 10.549621°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 49.380585°
E 10.546875°		 ← 198.84 m →
39 537 m²		 N 49.380585°
E 10.549621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529300689697266 y=0.341800689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529300689697266 × 217)
    floor (0.529300689697266 × 131072)
    floor (69376.5)     		tx = 69376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341800689697266 × 217)
    floor (0.341800689697266 × 131072)
    floor (44800.5)     		ty = 44800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69376 / 44800 ti = "17/69376/44800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69376/44800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69376 ÷ 217
    69376 ÷ 131072     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44800 ÷ 217
    44800 ÷ 131072     		y = 0.341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341796875 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994019550521484))-π/2
    2×atan(2.70207379528506)-π/2
    2×1.21634066217848-π/2
    2.43268132435697-1.57079632675     		φ = 0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69376 KachelY 44800 0.18407769 0.86188500 10.546875 49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 69377 KachelY 44800 0.18412563 0.86188500 10.549621 49.382373
    Unten links KachelX 69376 KachelY + 1 44801 0.18407769 0.86185379 10.546875 49.380585
    Unten rechts KachelX + 1 69377 KachelY + 1 44801 0.18412563 0.86185379 10.549621 49.380585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86188500-0.86185379) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dl = 198.838910000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86188500-0.86185379) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dr = 198.838910000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(0.86188500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 198.834531929413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18412563) × cos(0.86185379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651031466941489 × 6371000     		du = 198.84176755399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86188500)-sin(0.86185379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.651031466941489)×R²
    abs(0.18412563-0.18407769)×2.36902907296832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36902907296832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36902907296832e-05×40589641000000     		ar = 39536.76096448m²