Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69633 / 36863
↖ ↑ ↗
← N 61.607702°
E 11.252747°		 ← 145.20 m → N 61.607702°
E 11.255493°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
N 61.606397°
E 11.252747°		 ← 145.21 m →
21 083 m²		 N 61.606397°
E 11.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531261444091797 y=0.281246185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531261444091797 × 217)
    floor (0.531261444091797 × 131072)
    floor (69633.5)     		tx = 69633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281246185302734 × 217)
    floor (0.281246185302734 × 131072)
    floor (36863.5)     		ty = 36863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69633 / 36863 ti = "17/69633/36863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69633/36863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69633 ÷ 217
    69633 ÷ 131072     		x = 0.531257629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36863 ÷ 217
    36863 ÷ 131072     		y = 0.281242370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531257629394531 × 2 - 1) × π
    0.0625152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19639748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281242370605469 × 2 - 1) × π
    0.437515258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.37449472280587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19639748} λ = 0.19639748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37449472280587))-π/2
    2×atan(3.95307881764194)-π/2
    2×1.32302678925364-π/2
    2.64605357850729-1.57079632675     		φ = 1.07525725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19639748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.252747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07525725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.607702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69633 KachelY 36863 0.19639748 1.07525725 11.252747 61.607702
    Oben rechts KachelX + 1 69634 KachelY 36863 0.19644541 1.07525725 11.255493 61.607702
    Unten links KachelX 69633 KachelY + 1 36864 0.19639748 1.07523446 11.252747 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 69634 KachelY + 1 36864 0.19644541 1.07523446 11.255493 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07525725-1.07523446) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07525725-1.07523446) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19639748-0.19644541) × cos(1.07525725) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.475505952936685 × 6371000     		do = 145.201463065751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19639748-0.19644541) × cos(1.07523446) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 145.207585123881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07525725)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475505952936685-0.475526001461152)×R²
    abs(0.19644541-0.19639748)×2.00485244667425e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00485244667425e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00485244667425e-05×40589641000000     		ar = 21082.9839453134m²