Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69642 / 45066
↖ ↑ ↗
← N 48.904449°
E 11.277466°		 ← 200.76 m → N 48.904449°
E 11.280213°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.902643°
E 11.277466°		 ← 200.77 m →
40 304 m²		 N 48.902643°
E 11.280213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531330108642578 y=0.343830108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531330108642578 × 217)
    floor (0.531330108642578 × 131072)
    floor (69642.5)     		tx = 69642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343830108642578 × 217)
    floor (0.343830108642578 × 131072)
    floor (45066.5)     		ty = 45066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69642 / 45066 ti = "17/69642/45066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69642/45066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69642 ÷ 217
    69642 ÷ 131072     		x = 0.531326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45066 ÷ 217
    45066 ÷ 131072     		y = 0.343826293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531326293945312 × 2 - 1) × π
    0.062652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19682891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343826293945312 × 2 - 1) × π
    0.312347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.981268335222549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19682891} λ = 0.19682891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981268335222549))-π/2
    2×atan(2.66783780965741)-π/2
    2×1.21216998844273-π/2
    2.42433997688547-1.57079632675     		φ = 0.85354365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19682891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.277466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85354365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.904449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69642 KachelY 45066 0.19682891 0.85354365 11.277466 48.904449
    Oben rechts KachelX + 1 69643 KachelY 45066 0.19687685 0.85354365 11.280213 48.904449
    Unten links KachelX 69642 KachelY + 1 45067 0.19682891 0.85351214 11.277466 48.902643
    Unten rechts KachelX + 1 69643 KachelY + 1 45067 0.19687685 0.85351214 11.280213 48.902643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85354365-0.85351214) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85354365-0.85351214) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19682891-0.19687685) × cos(0.85354365) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657316732799105 × 6371000     		do = 200.761449529534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19682891-0.19687685) × cos(0.85351214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.657340478863549 × 6371000     		du = 200.768702188838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85354365)-sin(0.85351214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657316732799105-0.657340478863549)×R²
    abs(0.19687685-0.19682891)×2.37460644439969e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37460644439969e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37460644439969e-05×40589641000000     		ar = 40303.6311426278m²